BIENVENIDA

CONJUNTOS

LOS CONJUNTOS

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. que se puede escribir así:

{A, b, c,..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}), o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto {b, b, b, d, d} simplemente será { b, d }.

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MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:

A= {a, c, b}

B= {primavera, verano, otoño, invierno}

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï.

 Ejemplo:

Sea B= {a, e, i, o, u}, a Î B y c Ï B

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

DIAGRAMA DE VENN Y ENTRE LLAVES.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

 El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Otro ejemplo:

Por diagrama	Entre llaves
	S = {a, e, i, o, u} Se escribe una coma para separar los elementos.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

RELACIÓN DE  PERTENENCIA

La relación «es un elemento de», también llamada miembro del conjunto, se denota mediante el símbolo, y al escribir

Estamos diciendo que  es un elemento de. Equivalentemente, podemos decir o escribir « es un miembro de  », « pertenece a  », « es en », « reside en », « incluye », o « contiene ». La negación de este símbolo se denota.

 

No obstante lo anterior, los términos «A incluye X» y «A contiene X» son ambiguos, porque algunos autores también los usan para referirse a que «X es un subconjunto de A».¹ El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la palabra «contiene» debe usarse sólo para pertenencia de elementos, e «incluye» sólo para relaciones de subconjuntos.

Sean  X un elemento y A,B conjuntos:

Relación	Notación	Se lee
pertenencia		x pertenece a A
inclusión		A está contenido en B
		A está contenido en B o es igual que B
inclusión		A contiene a B
		A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo  es «x no pertenece a A».

RELACIÓN DE CONTENENCIA

RELACIÓN DE CONTENENCIA

La contenencia de conjuntos es la relación que existe entre un conjunto que es universal y otro que se es subconjunto del universal; es decir que   el conjunto   A estará contenido dentro del conjunto G si y solo si todos los elementos del  conjunto A son también elementos del conjunto G; Se representa con el símbolo   C que se lee contenido y cuando no está contenido se representa con el símbolo ₡ y se lee no contenido.

Ejemplo 

En la imagen podemos observar que el conjunto A = {Pato, Gallo, Gallina}, el conjunto N {Vaca, Oveja}

y el conjunto G = { Pato, Gallo, Gallina, Vaca, Oveja y perro  }

Por lo tanto podemos afirmar que A C G (A esta contenido en G) porque todos los elementos del conjunto A, están dentro del conjunto G, También podemos decir que es verdad que N C G (N está contenido en G) porque todos los elementos del conjunto N están en G. 

Otro Ejemplo: 

X= { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10  }   Q= { 1,3,5,7,9  }  H= { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20  }  R= { 2,4,6,8  }

Podemos decir que: 

Q  C  X  (Q contenido en  X

R  C  X  (Q contenido en X

H  ₡  X  (Q contenido en  X

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Hay dos formas de determinar conjuntos. 

POR EXTENSIÓN

 Ó FORMA TABULAR 

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. 

Ejemplos:
A = {a, e, i, o, u}
B = {0, 2, 4, 6, 8} 

POR COMPRENSIÓN Ó FORMA CONSTRUCTIVA

 
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. 

Ejemplos:
A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número par menor que 10}

CLASES DE CONJUNTOS

CLASES DE CONJUNTOS

1.    CONJUNTO FINITO

Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

2.    CONJUNTO INFINITO

Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

3.    CONJUNTO UNITARIO

En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

4.    CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

5.    CONJUNTOS HOMOGÉNEOS

Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

6.    CONJUNTOS HETEROGÉNEOS

A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel.

7.    CONJUNTOS EQUIVALENTES

Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

8. CONJUNTOS IGUALES

Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos.

CONJUNTO UNIVERSAL

Con el ánimo de evitar ambigüedades, cuando definimos conjuntos debemos especificar de donde se están tomando los elementos que los conforman.  Este conjunto base sobre el cual trabajamos es llamado conjunto universal.

Si por ejemplo queremos definir B como el conjunto conformado por las vocales, nuestro conjunto universal podría ser el abecedario.  Esta relación entre un conjunto y el conjunto universal al cual pertenecen sus elementos también puede ser representada por diagramas de Venn, utilizaremos siempre la letra U para representar el conjunto universal.

UNIÓN DE CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P  y el conjunto de los números impares positivos I:

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

Sean A y B conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A∪,B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A∪,B = { x∪ U / x∪,A ˅ x∪ B}

Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

Así, por ejemplo, si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, i, o}, entonces la unión de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en alguno de los dos conjuntos, esto es:

A ∪, B = {a, b, c, d, e, i, o}